数学の未解決問題「双子素数の予想」が特殊な条件で証明! 素数の秘密に迫る

Credit:Junpei Tsuji/slideshare

Point
■双子素数とは、連続した奇数がどちらも素数になるペアのこと

■素数が無限に存在することは紀元前に証明されているが、双子素数が無限に存在することは証明できていない

■新たな研究は多項式を使い、グラフ形状を比較することで双子素数が無限に存在することの証明に成功した

一般の私たちにとっては、落ち着きたいときに数えるくらいしか役に立たない素数ですが、数学者たちはこの素数の性質に長年魅了され続けています。

素数の難問として有名なのは、数学ミレニアム問題の1つ「リーマン予想」です。これが解決されれば素数の出現位置を予測できるようになると言われています。

逆に言えば、現在素数はどこでどういうタイミングで出現するのか法則が見つかっていないのです。

今回発表された研究は、こうした素数にまつわる問題の1つ「双子素数の予想」を限定的に証明したというものです。

双子素数とは、ある偶数を挟んで並んで存在する素数のペアのことで、こうしたペアはたくさん発見されています。数学者たちの予想では、この双子素数はおそらく無限に存在するだろうと考えられていますが、それはまだ証明されていません。

これを証明しようというのが、「双子素数の予想」問題です。

今回の研究者たちは、この問題を整数を使わずに多項式の形にした場合、グラフ形状を比較解析することで証明が可能だと発表しています。

この論文は米国コロンビア大学とウィスコンシン大学の二人の数学者によって発表され、現在はコーネル大学arXivで公開されています。

On the Chowla and twin primes conjectures over ?q[T]
https://arxiv.org/abs/1808.04001

素数が双子ってどういう意味?

素数 / Credit:helpingwithmath

素数とは「1と自分自身以外では割り切れない数字」です。「1はそもそも割ってないだろ」と言えるので、簡単に言えば割り算で絶対割り切れない数字です。

すべての数字は素数の合成で作り出すことができます。これは数を物質と考えた場合、素数は数の原子にあたる存在と考えることができます。

素数は現在のところ、どういった法則で並んでいるのか明らかになっていません。そのため素数を見つけても、その次の素数がいつ現れるかは分からないのです。大きい数になってくると何百何千と数を進めていっても一向に次の素数が出てこない砂漠地帯も存在します。

そんな中で特異な存在が双子素数です。双子素数は偶数を挟んで並ぶペアの素数のことです。「3と5」、「5と7」「11と13」などがその例です。

双子素数の予想は、「こうしたペアが無限に存在するか証明しなさい」という問題です。

素数自体が無限に存在することは、紀元前にエウクレイデスによって既に証明されています。

この証明を簡単に説明すると「素数が有限と考えた場合、判明した全ての素数をかけ合わせて作る数字は、そこに1を足したとき既知の素数のいずれで割っても1余る新しい素数になってしまう。つまり素数は有限ではない」という理屈です。

しかし「双子素数が無限にあるか?」となるとちょっと話が違ってきます。

ちなみに現在発見されている最大の双子素数は「2996863034895 × 21290000 ± 1 」だそうです。

確かにこれを証明するのは一筋縄ではいかない予感がしますね。

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