指数関数的増加とは?
指数関数的増加とは? / credit: 厚生労働省(ナゾロジー文字記入)
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2022.03.03 Thursday

2020.12.31 Thursday

コロナ禍で耳にする「指数関数的増加」とは? 増え方の凄まじさを徹底解説! (2/3)

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グラフで見る!指数関数的増加の凄まじさ

では、この「指数関数的増加」を実際にxy-座標平面上のグラフで見てみましょう。

比較のために、指数関数(先ほどのAのパターンに対応)

$$y=2^x$$

と一次関数(先ほどのBのパターンに対応)

$$y=2x$$

の両方のグラフを描いてみます。すると…

y=2^xとy=2xの比較
y=2^xとy=2xの比較 / Images created with GeoGebra

確かに、赤い線の指数関数「2のx乗」の方が、青い線の一次関数「2x」よりも大きくなっていきそうではあります。しかし、その威力はイマイチ見えてきません。

では、縮尺を変えて、もう少し広い視野でグラフを見てみると…

y=2^xとy=2xの比較②
y=2^xとy=2xの比較② / Images created with GeoGebra

肉眼では「もはや直角じゃないか!?」と思ってしまう程に、指数関数「2のx乗」は一気に増えていることがわかります。直線である一次関数「2x」とは対照的です。

これには、実は「微分」が関わっています。

一次関数「2x」を微分すると、2という定数になります。これは、一次関数「2x」は一定の速度で増えていくことを表しています。

一方、指数関数「2のx乗」を微分すると…

$$2^x \log{2}$$

となります。注目してほしいのは、微分しても「2のx乗」が残っている点です。

これは、指数関数「2のx乗」の増加率もまた、指数関数的に増加することを表しています。

つまり、指数関数は猛烈にガンガン加速して増えていくのです。

おまけとして、一次関数「2x」よりも、大きくなりやすい二次関数「xの2乗」を採用して、指数関数「2のx乗」と比べてみます。

y=2^xとy=x^2の比較
y=2^xとy=x^2の比較 / Images created with GeoGebra

赤い線の指数関数「2のx乗」が、青い線の二次関数「xの2乗」に負けています!

ついに指数関数にも負けが訪れたか…と思いつつ、グラフの縮尺を変えてみると…

y=2^xとy=2xの比較②
y=2^xとy=2xの比較② / Images created with GeoGebra

さすが指数関数!二次関数にも、しっかり勝利していたのでした。

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