フィボナッチスパイラル
フィボナッチスパイラル / credit:depositphotos
mathematics

神秘「フィボナッチ数列」とは?|ウサギのつがいの問題と黄金比との関連も解説 (2/3)

2021.09.11 Saturday

前ページうさぎのつがいの問題

<

1

2

3

>

ウサギのつがいの合計を計算してみると……

うさぎたくさん
うさぎたくさん / credit:Unsplash

うさぎのつがいの問題の12ヶ月後までを表にすると、以下のようになります。

表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜12ヶ月
表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜12ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

したがって、問題の答えは233つがいとなります。最初は1つがいしかいなかったのに、1年でずいぶん増えましたね!

では次に、合計の部分を抜き出してみましょう。

すると

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

となります。

ある規則性が隠れていることに気づきましたか?

1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13、8+13=21、13+21=34…というように、連続する2つの項を足すことで、次々に数が求まっていくのです。

なぜ、このような規則性が現れるのでしょうか?

nヶ月後、(n+1)ヶ月後、(n+2)ヶ月後に注目しながら、調べてみましょう。

まず、(n+2)ヶ月後に産まれるつがいの数を考えてみます。

先ほどの③より

「(n+2)ヶ月後の産まれたばかりのつがいの数」=「(n+2)ヶ月後の生後2ヶ月以降のつがいの数」

となります。

また、nヶ月後に存在するつがいたちは、(n+2)ヶ月後には生後2ヶ月以降となることから

「nヶ月後のつがいの合計」=「(n+2)ヶ月後の生後2ヶ月以降のつがいの数」

となります。

以上より

「(n+2)ヶ月後の産まれたばかりのつがいの数」=「nヶ月後のつがいの合計」 …(a)

であることがわかります。

次に、(n+2)ヶ月後に生後1ヶ月以降となっているつがいの数を考えてみましょう。

(n+1)ヶ月後に存在するつがいたちは、(n+2)ヶ月後には生後1ヶ月以降となることから

「(n+2)ヶ月後の生後1ヶ月以降のつがいの数」=「(n+1)ヶ月後のつがいの合計」 …(b)

であることがわかります。

したがって

「(n+2)ヶ月後のつがいの合計」=「(n+2)ヶ月後の産まれたばかりのつがいの数」+「(n+2)ヶ月後の生後1ヶ月以降のつがいの数」

であることから、(a)(b)より

「(n+2)ヶ月後のつがいの合計」=「nヶ月後のつがいの合計」+「(n+1)ヶ月後のつがいの合計」

となるのです。

次ページフィボナッチ数列と黄金比

<

1

2

3

>

数学のニュースmathematics news

もっと見る

役立つ科学情報

注目の科学ニュースpick up !!