ピエール・ド・フェルマーの肖像。
ピエール・ド・フェルマーの肖像。 / Credit:canva
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「フェルマーの最終定理」解決の裏に潜む数学ドラマ【前編】 (2/3)

2022.02.21 Monday

2020.11.30 Monday

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無限を証明する難しさ

数には無限の組み合わせがある。そのすべてに解がないと証明するにはどうすればよいのだろう?
数には無限の組み合わせがある。そのすべてに解がないと証明するにはどうすればよいのだろう? / Credit:canva

解が無限に存在することを示す証明は、比較的簡単に解決される場合があります。

例えば、数学者エウクレイデスは素数が無限に存在するのか? それとも有限なのか? という議論に対して、無限に存在することを証明しています。

その証明は以下のようなものです。

「素数が有限と仮定して、すべての素数をかけ合わせた数に1を足したとき、それは新しい素数になる。

もし割ることができた場合、その数を割れる未知の素数が存在していることになってしまう。

故に素数は有限ではない」

数行に収まるほどの簡潔な証明です。

しかし、無限に組み合わせの作れる数式に解が一切存在しないということを証明するのは非常に困難です。

特にフェルマーの最終定理では、非常に巨大な乗数の計算にまで言及しています。

この場合「xn + yn = zn」が3乗どころか、100乗でも1万乗でも無限の乗数で計算しても解は存在しないと証明しなくてはなりません。

しかし、1万乗とか1京乗なんてところまで計算していったら、ひょっとして神様の気まぐれで1つくらい成立する数が出てくるかもしれません。

実はフェルマーは4乗の場合に解がないという証明はきちんと書き残していました。

それを利用してレオンハルト・オイラーは3乗の場合に解がないという証明を成功させています

これらの証明から、さらにnが「3の倍数のとき」と「4の倍数のとき」解が存在しないと証明することができました。

しかし、こんな調子で証明を続けていても埒が明きません。証明するべき「n」は、3以上の無限に連なる数字たちなのです。

この問題を解決するためには、もっと違う視点の考え方が必要だったのです。

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