フィボナッチスパイラル
フィボナッチスパイラル / credit:depositphotos
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神秘「フィボナッチ数列」とは?|ウサギのつがいの問題と黄金比との関連も解説

2021.09.11 Saturday

中村 滋・室井 和男著「数学史―数学5000年の歩み―」 https://amzn.to/3DS8gKG 高校数学の美しい物語「フィボナッチ数列の一般項と数学的帰納法」 https://manabitimes.jp/math/643 新潟工科大学「2フィボナッチ数列」 http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/fibonacci1/node2.html

「フィボナッチ数列」をご存知ですか?

さまざまな本やサイトで紹介されているため、理系でなくとも「聞いたことがある!」という人が多いのではないでしょうか。

古くから知られているシンプルな数列で、面白い性質をたくさん持っています。今回は、そんな「フィボナッチ数列」について紹介していきます。

うさぎのつがいの問題

仲の良さそうなうさぎのつがい
仲の良さそうなうさぎのつがい / credit:Unsplash

1202年の著作『計算の書』には、「ウサギのつがいの問題」と呼ばれている有名な問題が掲載されています。実は、この本の著者であるレオナルド・ピサノは、現在では「フィボナッチ」の名で知られている数学者です。

まずは、この問題を解き明かし、「フィボナッチ数列」にせまっていきましょう!

「ウサギのつがいの問題」とは、以下のような問題です。

<問題>
1つがいのウサギは産まれて2ヶ月後から、毎月1つがいのウサギを産むとします。今、産まれたばかりの1つがいのウサギがいます。12ヶ月後には、ウサギは合計何つがいになっているでしょうか?

それでは0ヶ月後~4ヶ月後について、一つずつ具体的に考えてみましょう。

0ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギしかいません。そのため、合計1つがいです。

1ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後1ヶ月となります。まだ、子どもを産まないので、合計1つがいです。

2ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後2ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。したがって、2ヶ月後にいるウサギのつがいは、

 

「最初に存在するつがい」+「2ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい」

 

合計2つがいです。

3ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後3ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

また、2ヶ月後に産まれた1つがいのウサギは、生後1ヶ月となりますが、まだ子どもを産みません。

したがって、3ヶ月後にいるウサギのつがいは、

 

「最初に存在するつがい」+「2ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい」+「3ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい」

 

合計3つがいです。

4ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後4ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

また、2ヶ月後に産まれた1つがいのウサギも、生後2ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

一方、3ヶ月後に産まれた1つがいのウサギは、生後1ヶ月となりますが、まだ子どもを産みません。

したがって、4ヶ月後にいるウサギのつがいは、

 

「最初に存在するつがい」+「2ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい」+「3ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい」+「4ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい」+「『2ヶ月後、最初に存在するつがいから産まれたつがい』から産まれたつがい」

 

合計5つがいです。

このまま続けていくと、ゴチャゴチャしてしまいそうですね……。

整理するために、「つがいの数」の表をつくってみましょう!

表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月
表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

この表のポイントは

①前の月の「産まれたばかりのつがいの数」は、次の月の「生後1ヶ月のつがいの数」となる。

②前の月の「生後1ヶ月のつがいの数」と「生後2ヶ月以降のつがいの数」を足すと、次の月の「生後2ヶ月以降のつがいの数」となる。

③何ヶ月後においても、「産まれたばかりのつがいの数」と「生後2ヶ月以降のつがいの数」は同じになる(生後2ヶ月以降の各つがいから、子どもが1つがいずつ産まれるので)。

です。

これらのポイントをもとに、5ヶ月後がどうなるか考えてみましょう。

①より、4ヶ月後の「産まれたばかりのつがいの数」は2つがいなので、5ヶ月後の「生後1ヶ月のつがいの数」は2つがいとなります。

②より、4ヶ月後の「生後1ヶ月のつがいの数」は1つがい、「生後2ヶ月以降のつがいの数」は2つがいなので、これらを足すと3つがいです。よって、5ヶ月後の「生後2ヶ月以降のつがいの数」は3つがいとなります。

③より、「産まれたばかりのつがいの数」と「生後2ヶ月以降のつがいの数」は同じなので、5ヶ月後の「産まれたばかりのつがいの数」は、3つがいとなります。

以上を合計すると、2+3+3つがい、つまり、5ヶ月後は合計8つがいとなるのです。

したがって

表:うさぎのつがい問題5ヶ月
表:うさぎのつがい問題5ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

となります。

これを12ヶ月後まで続けていくと、答えが出ますね!

次ページウサギのつがいの合計を計算してみると……

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