数学が好きな少女
数学が好きな少女 / credit: depositphotos
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小中学生も分かる!簡単そうでも奥深い「数学の未解決問題」3選 (3/3)

2022.03.22 Tuesday

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(n の 2 乗)+1 の形の素数

素数の階段
素数の階段 / Credit:Junpei Tsuji(辻様にご許可を頂き掲載)/slideshare

(n の 2 乗)+1 の形の素数について考える前に、以下の素数についても考えてみます。

【4n + 1 の形の素数】
4n + 1(n は正の整数)の形で表される素数は無限に存在するか?

言葉では少し難解なので、具体例を挙げてみましょう。

5 = 4×1+1

13 = 4×3+1

17 = 4×4+1

29 = 4×7+1

37 = 4×9+1

このような「4n+1 の形で表される素数」は無限に存在するのでしょうか?

実は、 これは既に「無限に存在する」ということが証明済み。4n+1 の形だけでなく、3n+1 や 8n+5 や 20n+9 でも、同様のことが証明されています。

どれも「ディリクレの算術級数定理」という有名な定理の具体例です

では、(n の 2 乗)+1 の形の素数についても考えてみましょう。

【n2 + 1 の形の素数】
n2 + 1(n は正の整数)の形で表される素数は無限に存在するか?

具体例を挙げてみます。

12+1 = 2

22+1 = 5

42+1 = 17

62+1 = 37

102+1 = 101

このような「(n の 2 乗)+1 の形で表される素数」は無限に存在するのでしょうか?4n + 1 の形の素数と同様、式は非常にシンプルですが、不思議なことに、こちらの問題は未解決なのです。

紀元前から素数の研究は行われているのにも関わらず、こんなにシンプルな形の素数に関する問題が 21 世紀になっても未解決とは…数学は恐ろしい学問です。

今回紹介した予想は、意外にも問題自体は簡単に理解できてしまうものばかり。 しかし、未解決の超難問です。

もしかすると、これらの予想の裏側には、壮大な数学の新理論が隠されているかもしれません!

ぜひ、ご自身で具体例を計算してみてください。数学の不思議さや面白さを感じられると思います。親子で自由研究として試してみても良いかもしれません。考え続けてみたら、自らの内に秘めた数学の才能が開花するかも…?

【編集注 2022.03.22 15:20】
記事内容に一部誤りがあったため、修正して再送しております。

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